Utilizas ángulos, triángulos y razones métricas 

Ángulos y su clasificación

Un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas que parten de un mismo punto.

También podemos decir que un ángulo es la abertura formada por dos rayos llamados lados, que tienen un origen común llamado vértice.

El ángulo se anota:  

Dos rectas con un origen común determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ángulos, α y β.

Al ángulo α se le llama ángulo convexo, mientras que el ángulo β es cóncavo.

Clasificación de los ángulos

Los ángulos pueden clasificarse según su medida en cinco tipos:

Ángulo recto: es aquel cuya medida es de 90°

∠ α = 90°

Ángulo agudo: es aquel cuya medida es menor que 90°

∠ α = < 90°

Ángulo extendido: es aquel cuya medida es de 180°

∠ α = 180°

Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°

∠ α = > 90° < 180º

Ángulo completo: es aquel cuya medida es de 360°

∠ α = 360°

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90 grados (un ángulo recto).

Estos dos ángulos (40° y 50°) son ángulos complementarios, porque suman 90°. Fíjate en que juntos hacen un ángulo recto.
Pero los ángulos no tienen por qué estar juntos. Estos dos son complementarios porque 27° + 63° = 90°

		Si los dos ángulos suman 90°, decimos que "se complementan". Complementario viene del latín completum que significa "completo"... porque un ángulo recto se consideraba un ángulo completo.
		Escritura: cuidado, no es "ángulos complimentarios" (con "i")

Triángulo rectángulo En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos son complementarios, porque hay 180° en un triángulo y el ángulo recto tiene 90°.

Nota: otra idea relacionada son los ángulos suplementarios - los que suman 180°

Ángulos suplementarios

Dos angulos son suplementarios si suman 180 grados.

Estos dos ángulos (140° y 40°) son ángulos suplementarios, porque suman 180°. Fíjate en que al ponerlos juntos tenemos unángulo llano.
Pero no hace falta que los ángulos estén juntos. Estos dos son suplementarios porque 60° + 120° = 180°

		Si dos ángulos suman 180°, decimos que se "suplementan". Suplementario viene del latín supplere, completar o "suplir" lo que se necesita.
		Escritura: presta atención, no es "ángulo suplimentario" (con "i")

Nota: una idea relacionada son los ángulos complementarios, que suman 90°

(¿Cómo recordar que complementarios son 90° y suplementarios son 180°? Por suerte la "C" va antes que la "S" en el abecedario y 90 va antes que 180. Así hago yo para acordarme.)

Triángulos

¿ Qué es un triángulo? Es un polígono de tres lados y tres ángulos.

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º Triángulo ABC: Tiene tres lados: AB, BC, CA Tiene tres vértices: A, B, C Tiene tres ángulos: ∠ ABC, ∠ BCA, ∠ CAB Ver: PSU: Matemática; Pregunta 14_2005

¿Cómo se clasifican los triángulos?

Los triángulos se pueden clasificar según:

Las medidas de sus lados

Las medidas de sus ángulos

Según las medidas de sus lados pueden ser, triángulo:

Equilátero

Isósceles

Escaleno

Triángulo equilátero: Es el que tiene sus tres lados de igual medida y sus tres ángulos de igual medida, cada uno de los cuales mide 60º. Los lados a, b y c tienen igual medida. Esto se puede escribir también de la siguiente manera: AB =  BC = CA Los ángulos tienen igual medida, es decir:  ∠ ABC = ∠ BCA  = ∠ CAB  =  60º Recuerda que siempre la letra que está en el medio indica el vértice donde se ubica el ángulo.

Triángulo isósceles: Es el que tiene dos lados de igual medida, por lo tanto, tiene dos ángulos de igual medida. trazo AB = trazo AC ∠ ABC = ∠ BCA

Triángulo escaleno: Es el que tiene todos sus lados de distinta medida y, por lo tanto, sus ángulos también son de distinta medida.

Ver: PSU: Geometría; Pregunta 01_2006

Según la medida de sus ángulos, un triángulo puede ser:

Triángulo acutángulo: Es el que tiene sus tres ángulos agudos; es decir, sus ángulos miden más de 0º y menos de 90º.  — — — AB AC BC ∠ ABC ∠ BCA ∠ CAB

Triángulo rectángulo: Es el que tiene un ángulo recto; es decir, un ángulo mide 90º ∠ CAB  =  90º

Triángulo obtusángulo: Es el que tiene un ángulo obtuso; o sea, un ángulo que mide más de 90º y menos de 180º. ∠ CAB  obtuso (mayor que 90º y menor que 180º)

Es importante tener presente que pueden combinarse ambas clasificaciones, según sus lados y según sus ángulos. Con esta información se pueden descubrir todas las propiedades implícitas en el nombre.

	Tiene un ángulo obtuso y dos agudos distintos y tres lados distintos
Triángulo obtusángulo escaleno

	Tiene un ángulo de 90° y dos agudos iguales de 45° y dos lados iguales
Triángulo rectángulo isósceles

Propiedades de los triángulos

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b - c

2La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

3 El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = A + B

α = 180º - C

4En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5 Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

Comprendes la congruencia de Triangulos

Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.

Primer criterio de congruencia: LLL
Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
a ≡ a’
b ≡ b’
c ≡ c’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Segundo criterio de congruencia: LAL
Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos.
b ≡ b’
c ≡ c’
α ≡ α’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Tercer criterio de congruencia: ALA
Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado.
b ≡ b’
α ≡ α’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Cuarto criterio de congruencia: LLA

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes.
a ≡ a’
b ≡ b’
β ≡ β’
→ triáng ABC ≡ triáng A’B'C’

Resuelve Problemas de Semejanza de Triangulos y Teorema de Pitagoras 

Teorema de Tales

Tales de Mileto.

Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos).

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).

Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los ladosdel triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.  Lo que se traduce en la fórmula

Hagamos un ejercicio como ejemplo:

En el triágulo de la derecha, hallar las medidas de los segmentos a yb. Apicamos la fórmula, y tenemos

Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Una aplicación del Teorema de Tales.

Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.

En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; segúnHeródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la  pirámide de Keops en Egipto.

La leyenda de Tales y las pirámides

Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes.
Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.

La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).

Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.

Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B). Como en triángulos semejantes, se cumple que , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema.

Otra variante del Teorema de Tales

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).

Ejercicios

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.

2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.

Una aplicación inmediata de este teorema sería la división de un segmento en partes iguales, o en partes proporcionales a números dados

Aplicación del Primer Teorema de Tales

Una aplicación del teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales (con ayuda de compás, regla y escuadra o cartabón).

Ejemplo

Dividir el segmento AB en 3 partes iguales

	1. Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
	2. Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades de medida a partir de A.
	3. Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.

Segundo teorema

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, lascircunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.

Este teorema (véase figuras  1 y 2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de losángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Figura 1. Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.	Figura 2. Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.

Demostración:

En la circunferencia de centro O y radio r (véase figura 3), los segmentos son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia. Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es: 2α + 2β = π (radianes) (180º) Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene: Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

Figura 3. Los triángulos AOB y BOC son isósceles.

Semicircunferencia

Como la condición para este enunciado es que la hipotenusa corresponda al diámetro de una circunferencia, también se puede expresar como que el triángulo está inscrito en una semicircunferencia.

Entonces, el Teorema de Tales dirá que "todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro".

Demostración

Sea el triángulo BCA (en la figura superior)

Como OA y OB son iguales (radios de la semicircunferencia) , los ángulos ABO y BOA también son iguales y como OA y OC también son iguales, los ángulos OAC y OCA son iguales. Por tanto, ángulo BAC es igual a la suma de ABC y ACB.

Teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º, el ángulo BAC debe ser recto.

Ver: PSU Geometría: Pregunta 08_2006

Corolarios

Corolario 1  “En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la hipotenusa.”

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad,OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase figura 3).

Corolario 2 “La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad  de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”

El corolario 2 también surge de aplicar el teorema anterior, para una comprensión intuitiva basta observar la figura 2.

Aplicación del Segundo Teorema de Tales

Construcción de tangentes (líneas rojas en la figura a la derecha) a una circunferencia k desde un punto P, utilizando el segundo teorema de Tales.

Este segundo teorema (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma (véase figura ).

Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T (también desconocido por ahora).

Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es necesariamente recto.

Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo.

Recordando el corolario 2 del segundo teorema de Tales podemos deducir que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio mitad de la hipotenusa OP del mismo.

Entonces, marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.

Esta última circunferencia trazada interceptará a la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntosT y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema.

Teorema de Pitágoras

Para entrar en materia, es necesario recordar un par de ideas:

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Sabido esto, enunciemos el Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Recuerda: Este Teorema sólo se cumple para triángulos rectángulos.

AC =  cateto   =  a

BC =  cateto   =  b                         

AB =  hipotenusa  =  c

         La expresión matemática que representa este Teorema es:

hipotenusa ²   =   cateto ²    +   cateto ²

        c²    =     a²    +    b²

Si se deseara comprobar este Teorema se debe construir un cuadrado sobre cada cateto y sobre la hipotenusa y luego calcular sus áreas respectivas, puesto que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

El siguiente esquema representa lo dicho anteriormente:

                                         

Una forma muy sencilla de explicar y de visualizar el Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo se verifica que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

 Reconoce las propiedades de los Poligonos

Polígono

Un polígono es una figura plana (bidimensional) cerrada con lados rectos. Algunos ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.

Regular

Un "polígono regular" tiene todos los lados iguales y todos los ángulos iguales. Si no, es irregular.

Pentágono regular	Pentágono irregular

Ángulo interior El ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula: (n-2) × 180° / n Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es: (8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135° Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°

Ángulo exterior Los ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman 180°. Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° - ángulo interior El ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es180°-135° = 45° El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es180°-120° = 60°

Diagonales Todos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales (líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados). El número de diagonales es n(n - 3) / 2. Ejemplos: un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 = 2 diagonales un octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales (Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)

Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema

"Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema ... "

Suena musical si lo repites unas cuantas veces, pero sólo son los nombres de los círculos "exterior" e "interior" (y sus radios) que se pueden dibujar en un polígono regular, así:

La circunferencia "exterior" se llama circunscrita (a veces también "circuncírculo"), y conecta los vértices del polígono. La circunferencia "interior" se llama inscrita (a veces también "incírculo"), y toca cada lado del polígono en el punto medio. El radio de la circunferencia circunscrita es también el radiodel polígono. El radio de la circunferencia inscrita es el apotema del polígono.

Fórmulas

Si tomamos un "sector" de un polígono regular de "n" lados y lo cortamos por la mitad, tenemos un triángulo pequeño que contiene toda la información importante:

(Nota: los ángulos son en radianes, no en grados)

El triángulo pequeño es rectángulo así que podemos usar seno, coseno y tangente para ver las relaciones entre el lado, el radio, el apotema y "n":

sin(π/n) = (Lado/2) / Radio		Lado = 2 × Radio × sin(π/n)
cos(π/n) = Apotema / Radio		Apotema = Radio × cos(π/n)
tan(π/n) = (Lado/2) / Apotema		Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)

Hay muchas más relaciones como estas (casi todas son "reordenamientos"), pero con estas nos vale por ahora.

Área

Ahora es fácil calcular el área... ¡sólo sumar las áreas de todos los triángulos!

El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, así que:

Área del triángulo pequeño = ½ × Apotema × (Lado/2)

Y sabemos (por la fórmula con "tan" de arriba) que:

Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)

Así que:	Área del triángulo pequeño	= ½ × Apotema × (Apotema × tan(π/n))
		= ½ × Apotema2 × tan(π/n)

Y hay dos triángulos por lado, o sea 2n en todo el polígono:

Área del polígono = n × Apotema² × tan(π/n)

¡La verdad es que es una fórmula muy simple!

Otras fórmulas del área

Si no sabes cuánto mide el apotema, podemos sacar fórmulas con el radio y el lado:

Área del polígono = ½ × n × Radio² × sin(2 × π/n)

Área del polígono = ¼ × n × Lado² / tan(π/n)

Tabla de valores

Podemos usar las fórmulas para hacer una tabla con los lados, apotemas y áreas de varios polígonos, usando un valor del radio igual a "1":

Nombre	Lados (n)	Figura	Ángulo interior	Radio	Lado	Apotema	Área
Triángulo (o trígono)	3		60°	1	1.732... (√3)	0.5	1.299... (¾√3)
Cuadrilátero (o tetrágono)	4		90°	1	1.414... (√2)	0.707... (1/√2)	2
Pentágono	5		108°	1	1.176...	0.809...	2.378...
Hexágono	6		120°	1	1	0.866... (½√3)	2.598... ((3/2)√3)
Heptágono (o septágono)	7		128.571°	1	0.868...	0.901...	2.736...
Octágono	8		135°	1	0.765...	0.924...	2.828... (2√2)
...
Pentacontágono	50		172.8°	1	0.126...	0.998...	3.133...

Elementos y propiedades de los poligonos

Vértice (V): Punto donde concurren dos lados.

Lados (L): Segmentos que limitan al polígono.
Centro (C): Punto interior que equidista de cada vértice.

Radio (r): Segmento que une el centro con un vértice.

Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado y es perpendicular al mismo. 

Clases de ángulos de un polígono regular

Ángulo central de un polígono regular

Es el formado por dos radios consecutivos.

Si n es el número de lados de un polígono:

Ángulo central = 360° : n

Ángulo central del pentágono regular= 360° : 5 = 72º

Ángulo interior de un polígono regular

Es el formado por dos lados consecutivos.

Ángulo interior =180° − Ángulo central

Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º

Ángulo exterior de un polígono regular

Es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Los ángulos exteriores e interiores son suplementarios, es decir, que suman 180º.

Ángulo exterior = Ángulo central

Ángulo exterior del pentágono regular = 72º

Ángulos interiores de polígonos

Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

Triángulos

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

90° + 60° + 30° = 180°	80° + 70° + 30° = 180°
¡En este triángulo es verdad!	Vamos a inclinar una línea 10° ... También funciona, porque un ángulo aumentó 10°, pero otro disminuyó 10°

Cuadriláteros (cuadrados, etc.)

(Un cuadrilátero es una figura de 4 lados)

90° + 90° + 90° + 90° = 360°	80° + 100° + 90° + 90° = 360°
Un cuadrado suma 360°	Vamos a inclinar una línea 10° ... ¡también suman 360°!
Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°

Porque en un cuadrado hay dos triángulos

Los ángulos interiores de este triángulo suman 180° (90°+45°+45°=180°)

... y los de este cuadrado360° ... ¡porque el cuadrado está hecho de dos triángulos!

Pentágono

Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ... ... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540° Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108° (Ejercicio: asegúrate de que cada triángulo aquí suma 180°, y comprueba que los ángulos interiores del pentágono suman 540°)

La regla general

Así que cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc) sumamos otros 180°al total:

			Si es regular...
Figura	Lados	Suma de los ángulos interiores	Forma	Cada ángulo
Triángulo	3	180°		60°
Quadrilátero	4	360°		90°
Pentágono	5	540°		108°
Hexágono	6	720°		120°
...	...	..	...	...
Cualquier polígono	n	(n-2) × 180°		(n-2) × 180° / n

Empleas la circunferencia

Circunferencia

La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Elementos de la circunferencia

Centro de la circunferencia

El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia

El radio es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Cuerda

La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro

El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

El diámetro mide el doble del radio.

Arco

Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

Semicircunferencia

Una semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

Longitud de una circunferencia

La longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro.

La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio.

Ejercicios de la longitud de una circunferencia.

Ángulos en la circunferencia

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dosradios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo semiinscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otrotangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.

Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otrosecante, o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

Posiciones relativas de un punto respecto a una circunferencia

Interior

La distancia del punto al centro es menor que el radio.

Punto sobre la circunferencia.

El punto pertenece a la circunferencia.

Punto exterior a la circunferencia

La distancia del punto al centro es mayor que el radio.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Recta secante

La recta corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangente

La recta corta a la circunferencia en un punto.

Recta exterior

No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.

Posiciones relativas de dos circunferencias

Ningún punto en común

Exteriores

La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios.

Interiores

La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.

Concéntricas

Los centros coinciden.

Un punto común

Tangentes exteriores

La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

Tangentes interiores

La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

Dos puntos en común

Secantes

La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.

Relaciones Trigonométricas  

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.

La función seno

Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

Gráfica de la función seno.

La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.

La función coseno

La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

Gráfica de la función coseno.

La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.

La función tangente

Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.

Gráfica de la función tangente.

La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.

Propiedades de las funciones trigonométricas

Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:

• Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.
  
• Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
• Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
• Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

Funciones circulares recíprocas

Se llaman funciones circulares recíprocas a las que anulan la acción de las funciones trigonométricas. A cada función trigonométrica le corresponde una función circular recíproca, según la relación siguiente:

• La función recíproca del seno es arco seno, simbolizada por f (x) = = arc sen x.
• La función recíproca del coseno es arco coseno, expresada por f (x) == arc cos x.
• La función recíproca de la tangente es arco tangente, denotada por f (x) == arc tg x.

Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras,

las letras Mayúsculas, en éste caso, se utilizarán para referirnos a los

Ángulos del Triángulo.

Empezaremos a ver cada una de las Funciones:

1. Función  Seno ( Sen):
    
    La Función Seno nos describe la relación  existente entre Lado Opuesto sobre la
    
    Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

2.  Función Coseno ( Cos):

     La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente sobre

     Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

3.  Función Tangente ( Tan):

     Ésta Función nos representa la relación entre Lado Adyacente sobre

     Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

       También tenemos las  Funciones que son inversas a las anteriores:

       4.  Función  Cotangente ( Cot):
            
            Que describe la relación  entre Lado Adyacente con Lado Opuesto:

       5.  Función Secante (  Sec):
            
            Relación entre Hipotenusa sobre  Lado Adyacente:

       6.  Función  Cosecante ( CsC):

            Nos muestra la relación entre Hipotenusa  sobre  Lado Opuesto:    

sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración de base 60. En sentido estricto, un sistema semejante debería asignar nombres diferentes a los dígitos 1, 2, 3, ..., 59, lo cual resulta a todas luces imposible. Por tanto, en todos los sistemas sexagesimales utilizados a lo largo de la historia se ha empleado una notación basada en el nombre de los dígitos decimales.

En el mundo cotidiano persisten dos aplicaciones muy comunes del sistema sexagesimal:

• La medida de ángulos en grados, minutos y segundos (por ejemplo 23º15?47?). En el Sistema Internacional de unidades, se ha suprimido el grado sexagesimal como medida estándar para reemplazarlo por el radián.
• La subdivisión del tiempo: una hora se divide en 60 minutos y un minuto, en 60 segundos. Este sistema horario se combina con el sistema duodecimal, de base 12, que se emplea para medir el número de horas del día (en dos bloques de doce horas). Nuevamente, estas subdivisiones tienen valor sólo en el mundo cotidiano; en el ámbito científico, se trabaja con el segundo como unidad base de tiempo y con un sistema de numeración decimal, (décimas de segundo, centésimas,... ).

Cambios de base

El cambio de base de sexagesimal a decimal y a la inversa, no ofrece ninguna novedad conceptual con respecto a cualquier otro cambio de este tipo (ver t2). No obstante, como en la práctica no se usan cantidades sexagesimales «puras», sino expresadas en unidades y sus fracciones (grados, minutos y segundos para los ángulos; horas, minutos y segundos para el tiempo), las conversiones presentan ciertas peculiaridades.

Para pasar de una cantidad de tiempo medido en formato sexagesimal a la unidad decimal (el segundo), se procede según la siguiente fórmula de conversión:

h (horas) m (?) s (?) = h × 60² + m × 60 + s (segundos).

Por ejemplo, 2 h 50? 34? = 2 × 60² + 50 × 60 + 34 = 10.234 segundos (símbolo s).

El paso inverso, de decimal a sexagesimal, se efectúa del modo siguiente:

• Dividiendo la cantidad decimal por 60²; el cociente obtenido son las horas.
• Dividiendo el resto de la operación anterior por 60; el cociente son los minutos.
• El resto de esta segunda operación son los segundos.

Medida de ángulos

En el sistema decimal habitual, los ángulos planos se miden en términos de una unidad denominada radián. No obstante, es muy frecuente efectuar esta medida según el sistema de numeración sexagesimal, en grados, minutos y segundos.

• Un radián (símbolo rad) se define como un ángulo central cuyo arco mide un radio de circunferencia. De esta forma, para barrer toda una circunferencia se necesitan 2P radianes.
• Un grado sexagesimal (símbolo º) es la 90ª parte de un ángulo recto, entendido éste como el que forman dos rectas perpendiculares entre sí. Por tanto, una circunferencia completa describe un ángulo de 360º.

La equivalencia entre radianes y grados sexagesimales es la siguiente:

2P rad = 360º Þ P rad = 180º.

El grado sexagesimal se divide en unidades menores llamadas minutos (?) y segundos (?), según las siguientes equivalencias:

1º = 60?, 1? = 60?.

Relaciones entre ángulos

En el estudio de los ángulos se distinguen varias relaciones sencillas que facilitan los cálculos con funciones trigonométricas y la resolución de triángulos:

• Ángulos complementarios son aquellos que suman 90º (P / 2 rad).
• Ángulos suplementarios son los que suman 180º (P rad).
• Cuando dos ángulos suman 360º (2P rad) se llaman opuestos.

Los ángulos que se diferencian en un número exacto de vueltas de circunferencia se consideran equivalentes en el estudio de sus funciones trigonométricas asociadas (por ejemplo, a y b tales que b = a + 2P × n, siendo n un número entero).

La trigonometría, enfocada  en sus inicios solo al estudio de los triángulos, se utilizó durante  siglos en topografía, navegación y astronomía.

Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, trigonometría se puede definirr como "medida de triángulos".

Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, veamos la figura a la derecha:

Los ángulos con vértice en  A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto.

Este triángulo se caracteriza  por que los lados de los ángulos agudos (α y γ)son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos.

Cada uno de los ángulos águdos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.

Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.

Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.

Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:

Si consideramos el ángulo α	Si consideramos el ángulo γ
cateto adyacente cateto opuesto	cateto adyacente  cateto opuesto

Por convención, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una línea; o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los ángulos.

Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos. También se llaman Funciones trigonométricas.

Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo; de ellas, tres son fundamentales y tres son recíprocas, como lo vemos en el siguiente cuadro:

Funciones (razones) trigonométricas
Fundamentales		Recíprocas
sen	seno	cosec (csc)	cosecante
cos	coseno	sec	secante
tan (tg)	tangente	cotan (cotg)	cotangente

Veamos un ejemplo, para un ángulo α:

Sea el ángulo BACde medida α (siempre menor de 90º) en el triángulo rectángulo ABC. Los lados BC y BA son los catetos y AC, la hipotenusa.

En este triángulo rectángulo, las razones trigonométricas con respecto a alfa (α) se definen como:

Seno

Seno, es la razón (división) entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa

Coseno

coseno, es la razón (división) entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa

Tangente

tangente, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al mismo.

Estas tres (seno, coseno, tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un ángulo agudo y los lados del triángulo rectángulo del cual forman parte.

A cada razón fundamental corresponde una razón recíproca, llamadas así por que cada una es la inversa de otra fundamental.

Las tres siguientes son las razones recíprocas que se pueden establecer respecto al mismo ángulo:

Cosecante

cosecante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo, y como es la recíproca del seno de α se puede expresar como

Secante

secante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo, y como es la reciproca del coseno de α se puede expresar como

Cotangente

cotangente, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto puesto al mismo, y como es la recíproca de la tangente de αse puede expresar como

Ahora, hagamos un ejercicio:

dado el triángulo ABC rectángulo en B (figura a la derecha).

Sean sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm.

Aplicamos el Teorema de Pitágoras y calculamos la hipotenusa, que es:

8² + 6² = 10²; o sea, es igual a 10 cm

entonces podemos calcular las razones trigonométricas:

funciones trigonométricas inversas Las funciones inversas son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.   Dice     Denota     seno inverso de x     arc sen x o sin-1x     coseno inverso de x     arc cos x o cos-1x     tangente inversa de x     arc tan x o tan-1x     cotangente inversa de x     arc cot x, o arc ctg x o cot-1x     secante inversa de x     arc sec x o sec-1x     cosecante inversa de x     arc csc x, o arc cosec x o csc-1x   Ya que sen 30° = 0.5, el seno inverso de 0.5 es 30°, es decir, arc sen 0.5 = 30°. Problemas de triángulos rectángulos 1 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo. sen B = 280/415 = 0.6747     B = arc sen 0.6747 = 42° 25′ C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′ c = a cos B   c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m Círculo unitario y puntos circulares Las funciones circulares que estudiaremos se basan en una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de puntos del círculo unitario.  El círculo unitario es un círculo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas, esto es, el punto (0,0) y su ecuación es  x2 + y2 = 1. Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas de un punto en el círculo unitario llamado punto circular.  Para eso, primero asumimos que la recta numérica tiene la misma escala que la del círculo unitario. Luego, localizamos el 0 en la recta numérica de manera que coincida con el punto (1, 0) en la unidad del círculo.  Entonces,  el eje real positivo se enrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje real negativo se enrolla en el sentido de las manecillas del reloj.  De manera, que cada número real de la recta real se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario.  En la página 340 del texto puedes observar la forma en que se enrolla la recta al círculo unitario. Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del círculo es: Así que un cuarto, una mitad y tres cuartos de la circunferencia son respectivamente: De manera que, los puntos circulares correspondientes en los ejes coordenados son:                                                                                                                            Nota:  Observa que las coordenadas de los puntos circulares P(0) y P(2p) son iguales.                                                                                                                                                                                                                                                                                        Ejemplo para discusión:  Halla las coordenadas de los siguientes puntos: Ejercicio de práctica:  Halla las coordenadas de los puntos: Otros ejemplos para discusión:  Halla las coordenadas de: En el texto en las páginas 342-345 se explica claramente el proceso para hallar las coordenadas de estos puntos circulares. Tenemos que las coordenadas de los puntos circulares claves en el Cuadrante I son: Ahora pasaremos a construir (en el salón de clases) el círculo unitario con todos los puntos circulares trabajados anteriormente y sus respectivas coordenadas. Equivalencia entre las funciones trigonométricas Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante Otras funciones trigonométricas Además de las funciones anteriores existen otras funciones trigonométricas, matemáticamente se pueden definir empleando las ya vistas, su uso no es muy corriente, pero si se emplean dado su sentido geométrico, veamos: El seno cardinal o función sinc (x) definida: El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, también se denomina sagita o flecha, se define: El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en el cálculo esférico: El coverseno, El semicoverseno Valor de las funciones trigonométricas A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar: Circunferencia en radianes. Circunferencia en grados sexagesimales. Radianes Grados sexagesimales seno coseno tangente cosecante secante cotangente Para el cálculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron tablas trigonométricas. La primera de estas tablas fue desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen bibliotecas de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto. Sentido de las funciones trigonométricas Dados los ejes de coordenadas cartesianas xy, de centro O, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las x, lo señalamos como punto E. Nótese que el punto A es el vértice del triángulo, y O es el centro de coordenada del sistema de referencia: a todos los efectos. La recta r, que pasa por O y forma un ángulo  sobre el eje de las x, corta a la circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por B, corta al eje x en C, la vertical que pasa por E corta a la recta r en el punto D. Por semejanza de triángulos: Los puntos E y B están en la circunferencia de centro O, por eso la distancia  y  son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas: tenemos: La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta. Primer cuadrante Para ver la evolución de las funciones trigonométricas según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia, viéndolo por cuadrantes, los segmentos correspondientes a cada función trigonométrica variaran de longitud, siendo esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un ángulo cero. Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo . Para , tenemos que B, D, y C coinciden en E, por tanto: Si aumentamos progresivamente el valor de , las distancias  y  aumentarán progresivamente, mientras que  disminuirá. Percatarse que el punto B es de la circunferencia y cuando el ángulo aumenta se desplaza sobre ella. El punto E es la intersección de la circunferencia con el eje x y no varia de posición. Los segmentos:  y  están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero  no está limitado, dado que D es el punto de corte de la recta r que pasa por O, y la vertical que pasa por E, en el momento en el que el ángulo  rad, la recta r será la vertical que pasa por O. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia  será infinita. El punto C coincide con A y el coseno vale cero. El punto B esta en el eje y en el punto más alto de la circunferencia y el seno toma su mayor valor: uno. Para un ángulo recto las funciones toman los valores: Segundo cuadrante Cuando el ángulo  supera el ángulo recto, el valor del seno empieza a disminuir según el segmento , el coseno aumenta según el segmento , pero en el sentido negativo de las x, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo. La tangente para un ángulo  inferior a  rad se hace infinita en el sentido positivo de las y, para el ángulo recto la recta vertical r que pasa por O y la vertical que pasa por E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los  rad y pasa al segundo cuadrante la prolongación de r corta a la vertical que pasa por E en el punto D real, en el lado negativo de las y, la tangente  por tanto toma valor negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo  aumenta progresivamente hasta los  rad. Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de , , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para  rad, hasta que valga 0, para  rad, el coseno,, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para  rad, hasta –1, para  rad. La tangente conserva la relación: incluyendo el signo de estos valores. Para un ángulo llano tenemos que el punto D esta en E, y B y C coinciden en el eje de las x en el lado opuesto de E, con lo que tenemos: [editar]Tercer cuadrante En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo  rad a  rad, se produce un cambio de los valores del seno, el coseno y la tangente, desde los que toman para  rad: Cuando el ángulo  aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante. A medida que el ángulo crece el punto C se acerca a O, y el segmento , el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las x. El punto B, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por C, se aleja del eje de las x, en el sentido negativo de las y, el seno, . Y el punto D, intersección de la prolongación de la recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del eje las x en el sentido positivo de las y, con lo que la tangente, , aumenta igual que en el primer cuadrante Cuando el ángulo  alcance  rad, el punto C coincide con O y el coseno valdrá cero, el segmento  será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno valdrá –1, la recta r del ángulo y la vertical que pasa por E serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las y. El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación: que se cumple tanto en valor como en signo, nótese que a medida que el coseno se acerca a valores cercanos a cero, la tangente tiende a infinito. [editar]Cuarto cuadrante En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo  entre  rad y  rad, las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para  rad: hasta los que toman para  rad pasando al primer cuadrante, completando una rotación: como puede verse a medida que el ángulo  aumenta, aumenta el coseno  en el lado positivo de las x, el seno  disminuye en el lado negativo de lasy, y la tangente  también disminuye en el lado negativo de las y. Cuando , vale  ó  al completar una rotación completa los puntos B, C y D, coinciden en E, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante. Dado el carácter rotativo de las funciones trigonométricas, se puede afirmar en todos los casos: Que cualquier función trigonométrica toma el mismo valor si se incrementa el ángulo un número entero de rotaciones completas.